“我这辈子真的有时机用到数学知识吗？”

liukang20243天前998吃瓜194

现在有许多人在考虑怎么才干将咱们的社会和数学正确地相关起来。莫非数学仅仅是一个助你大学毕业、成功迈入职场，然后完成人生实践方针的东西？莫非数学落在普罗群众的手里只能是废铜烂铁，只需在精英人士的手中才干变成强兵利刃？假如一辈子都用不上自己的所学所得，学习数学还有没有含义？许多人都在忧虑，将来的作业或许彻底用不到之前学到的那些数学常识。

现在，包含那些中心岗位在内，数学东西在每个作业范畴中都占有着恰当重要的方位；全国际市值最高的四个公司悉数是科技公司，这意味着权利越来越会集在那些数学才干极强的人的手中。

不只如此，年轻人日常日子中运用的各种东西也和数学有着千丝万缕的联络。比方搜索引擎能够满意咱们每一次出人意料的好奇心，其间心算法便是线性代数；屏幕上的各种广告也是依据博弈论推送到咱们面前的。

再比方现已变成数字管家的智能手机，能够在代数的协助下把咱们的数据锁在一个个橱柜里，在依据统计学规划出的传感器的协助下精确辨认咱们的语音指令，在解压缩算法的协助下播放出一段段令人身心愉悦的美好音乐。

研讨标明，对数学感到焦虑的爸爸妈妈会把这种焦虑传递给孩子。

假如你问我为什么学习数学，我会答复：“由于数学能够协助人们勃发应有的光荣。”

本文出处：《数学的力气：让咱们成为更好的人》，[美]弗朗西斯·苏著，沈吉儿、韩潇潇译，中信出书集团2022年6月版。

换句话说，数学能够让人昌盛开展。

我所以为的昌盛，指的是知行合一，指的是每个人都能在充分发挥自己潜能的一同协助别人发掘潜能，指的是行事勇敢自傲，懂得尊重别人，即使身处窘境也坚持自我。这儿的昌盛不等同于幸福快乐，也不单指某种心态，而是代表着人类杰出的日子状况。

我以为恰当的数学练习有利于人们构成丰盈的美德。

数学对咱们来说究竟有什么价值？

当人们问：“我这辈子真的有时机用到数学常识吗？”他们实践想问的是：“数学对我来说究竟有什么价值？”

电影《美丽心灵》（2001）剧照。

土星环围绕在土星周边，坐落赤道平面之上。从远处看，它们就像一条条静止不动的环状绸带，但事实上它们的主要成分是巨型岩石（小卫星），这些岩石内含有许多水冰，在重力的影响下绕土星旋转。天文学家伽利略在望远镜的协助下于1610年成为前史上第一个观测到土星环的人。其时他并不确认自己看到的是什么，便玩笑地将其称为“耳朵相同的东西”。后来在其他天文学家的尽力下，人们总算确认，这是土星的环状结构，环与环之间存在许多空地。在旅行者号探测器的协助下，咱们把握了环状结构的精细细节，比方高密度波纹和低密度波纹的散布办法，酷似旧式黑胶唱片上的凹槽。

某些环状结构其实能够用数学规矩来解说。一切与土星间隔持平的冰岩绕土星公转所需求的时间持平，换句话说，它们具有相同的轨迹周期。冰岩间隔土星越远，遭到的引力就越小，相应的轨迹周期就更长，速度就更慢。为了愈加直观，咱们能够把这些土星环幻想成田径跑道。和外圈的运动员比较，内圈的运动员会更占优势，单圈长度更短。

当冰岩轨迹周期和土星卫星轨迹周期出现整数比的时分，咱们就能看到一些较为特别的现象。假定现在有一块冰岩在内圈运动，还有一颗卫星在外圈绕土星工作，在内圈的冰岩跑完两圈时在外圈的卫星刚好跑完一圈。也便是说，冰岩每运动两个周期就能在同一个方位上和卫星擦身而过。

便是在这每一次擦身的瞬间，卫星对冰岩的引力效果最强。由于每次引力极值都发生在同一个方位，二者之间的引力强度便会越来越高，逐步让冰岩轨迹发生扰动。这很像你在后面推一个小孩荡秋千，你的推力和秋千同步了，孩子就能荡得更高。由于和土星间隔相同的那些冰岩具有相同的轨迹周期，它们都有违背轨迹的趋势，这便是所谓的共振效应。这种效应强到必定程度时就会迫使环状结构之间发生裂缝。

土星内轨迹上的冰岩行将逾越土卫一。假如冰岩总是重复在同一方位上逾越土卫一，那么铢积寸累之下，土卫一的引力效果就会迫使冰岩逐步违背轨迹（《数学的力气》内页插图）

土卫一邻近存在一个冰岩轨迹，二者轨迹周期份额刚好为2∶1，相应的共振催生了最大的土星环缝，也便是宽达3000英里的卡西尼缝（Cassini division）。其实，更小的整数比（例如3∶2或许4∶3）也会构成类似的共振效应，只不过没有前者那么明显，终究的效果与其说是裂隙，不如说是波纹。卫星与冰岩之间的共振效应，能够解说土星环中的许多特征。这些冰岩在引力的效果下翩跹于轨迹之上，将严寒的数字（前面那些简分数）出现为一支支美轮美奂的舞蹈！

数学的实质是探求，而不是回忆

数学研讨的底子就在于探求和了解。

探求不只是人类内心深处的潜在渴求，也是人类昌盛的标志。

游戏便是一个最好的比方，尤其是战略游戏，博弈进程中往往会涌现出各种美妙的数学问题，将探求精力展示得酣畅淋漓。

Achi是一种流行于西非加纳阿散蒂人之间的双人战略游戏。游戏两边各持4枚棋子，交兵于一张3×3的网格状棋盘（由3条横线、3条竖线、两条对角线构成，9个交汇点构成9个空位）之上。乍一看跟井字棋很像，但细节上又有着奇妙的不同。游戏开端后，两名选手轮番将自己手中的棋子放在心仪的空位上，最先将3枚棋子连成一条直线的人制胜。假如8枚棋子落定，两边均未连出直线，那么棋盘上必定还存在一个没有棋子的空位，此刻对局进入第二阶段，两边轮番将己方棋子沿直线移动到剩下的那个空位上，但不答应跳棋，首要连成直线的一方将赢得竞赛。

此刻8枚棋子悉数落定，输赢未分，游戏进入第二阶段，玩家要轮番将自己的某个棋子移动到空位上，直到有人连出直线获得成功（《数学的力气》内页插图）

以上便是Achi的规范游戏规矩，虽然看起来条理清晰，其实规矩仍有许多含糊之处。比方，第二阶段或人4枚棋子悉数卡住动弹不得怎么办？是不是只需两边活跃对弈（决不抛弃任何赢得竞赛的时机）就能防止棋子卡住？就算棋子没有卡住，莫非选手就不能越过此回合挑选静观其变吗？数学剖析能够帮你回答这些问题，告知你怎么选择才干让对局变得愈加扣人心弦。已然存在这么多特别状况，咱们不由会发生这样的疑问：Achi会不会一向玩下去，堕入无人能够制胜的僵局？游戏是否存在某种必胜战略（不管一方怎么出招，另一方都能获取终究的成功）？能否把交兵两边的棋子从4枚削减到3枚？能否从头规划棋盘，发明出更风趣的玩法？

能够提出这样的问题，阐明你现已是数学探求者，企图寻求游戏千般改变所依据的数理逻辑。

咱们有必要时间警醒自己，数学的实质是探求，而不是回忆。

有经历的数学老师会循循善诱，培育咱们的探求精力。阮芳便是这样一位数学教师，她曾对同行们提出过一个建议：“评判教学质量的依据，不该看学生交出了怎样的答卷，而应看学生提出了怎样的问题。

根底数学研讨往往也会（一般都是许多年今后）带来令人赞赏的实践使用。

比方对素数根源的探求促进了密码学的开展；对拓扑学纽结理论的探求现在使用到了蛋白质折叠规矩中，拉东改换（Radon transform）原理逐步成为CAT扫描技术的数学原理。

英国数学教师兼科普作家本·奥尔林（Ben Orlin）曾在令人赞不绝口的《欢喜数学》（Math with Bad Drawings）一书中剖析了什么是枯燥乏味的问题，什么是值得探求的问题，以及二者之间的差异。他举了这样一个比方：

现有一个长11米、宽3米的矩形，请你求出它的面积和周长。

这个问题恰当无聊，由于它把面积和周长两个风趣的概念硬生生地变成了数学公式的核算，底子是捡了芝麻丢了西瓜，让人摸不清数学概念的实在含义。

本·奥尔林在书中这样表明：“这仅仅将两个数字简略相乘，没能让你了解‘面积’实践上指的是填满这个矩形究竟需求多少个1×1巨细的正方形。”即使你做了20道类似的数学题，你对几许学依然或许一无所知。图中的问题才是一个更风趣的、更具有探求价值的问题。

《欢喜数学》中的插图依照作者本·奥尔林自谦的说法，这是一张马虎的涂鸦（《数学的力气》内页插图）

确实，这样发问就好多了，兴趣性能够说是直线上升，并且能够协助你深度了解矩形的实质。奥尔林表明，这个问题还能够持续“进化”——“请你构建两个矩形，使前者的周长是后者的两倍，而后者的面积是前者的两倍。”跟这样的好问题较劲，能够培育归于你自己的认知办法，构成归于你自己的解题思路。这才是最棒的学习体会。

每个人都是一名数学探求者

探求能够培育咱们对赋魅的等待。

数学傍边也存在着相同令人等待和巴望的“怪兽”，空间填充曲线（space-filling curve）便是其间之一，这是一条能广泛正方形内每一点的曲线。虽然这条曲线无法用画笔制造出来，但数学能够证明它确实存在。这种奇怪的曲线现在现已被科学家使用到了核算机科学和图画处理等范畴。

图中这类极致形状的曲线便是空间填充曲线，每次改变之后，它们都会以更弯曲弯曲的办法穿过给定的平面区域。没错，数学中确确实实存在这种奇特的极限办法（《数学的力气》内页插图）

另一只“怪兽”叫作巴拿赫-塔斯基悖论，它证明了一个令人难以置信的定论：一个实心球能够切分红5份，然后从头组合成两个和原实心球相同巨细的新实心球。必定有人会问：假如真这么凶猛，你为什么不拿金球去切割呢？答案很简略——实在空间不能像理想化空间那样可被无限切割——实践事物的实质与数学模型之间存在必定间隔。

假如能够以探求的眼光来审视日子，你就会发现每一道景色背面都埋藏着不为人知的瑰宝，你需求做的便是训练自己的发明性思维，推测出瑰宝的方位，然后把它们发掘出来。

琳达·古戸发现，不管是海洋动力学仍是潜水极限时长的优化，其实身旁处处都能看到数学的使用。

以数学探求者的眼光去审视国际不只要利于加深对海洋生物学的了解，还能促进对海洋生态环境的维护——线性函数能够模仿藻类侵入对珊瑚礁的损害，矩阵能够描绘海洋残骸的富集进程，二次方程能够规划有限岛屿资源的可持续开展之路。

咱们天然生成就有求知的愿望和推理的才干，每个人都是一名数学探求者。

当你打开脑筋风暴企图想出一些卓有成效的战略来处理问题时，你会遇到这样一个阶段，在这个阶段你有必要澄清问题的真实含义，一同你还要除掉那些无关紧要的细节以便将问题归类，然后在脑海中思索这个问题和你之前处理过的那些问题有何相关。这个进程其实便是在剖析问题，找出问题的实质。

想要捉住问题的实质，澄清它的含义或含义，你就有必要找到这个问题和其他事物的相关。比方每逢你考虑生命的含义，你实践上便是在考虑自己在世界中所扮演的人物。每逢你想要澄清奇特事情的含义，你实践上并没有把它当作一个孤立事情，而是将它和其他事情放到一同，考虑它的来龙去脉。再比方你想在字典里查找某个单词的含义，你会发现这个词有必要放到语句中才干做出详细解说。

每个数学概念都伴随着多个隐喻

数学概念也是一种隐喻。

咱们以数字7为例。想要跟咱们共享和数字7相关的兴趣常识，你在谈天的时分就得把它和其他事物放在一同。

咱们说数字7是素数，实践上是在议论它和因数（那些能整除它的数字）之间的联络。

咱们说数字7在二进制中能够写作111，实践上是在讨论它和数字2之间的联络。咱们说数字7是一周的天数，实践上是在告知咱们它和日历之间也能发生风趣的“化学反应”。因而，数字7既是一个笼统的概念，也是几种详细的隐喻：一个素数，一个二进制数，一周的天数。

同理，勾股定理也不只仅是关于直角三角形三边联络的陈说，从隐喻的视点来看，它一同也是你新学到的每一个能够阐释勾股定理为什么正确的证明、你新发现的每一个能够展示勾股定理实用性的使用。因而，每逢你遇到新的证明办法，看到新的使用办法，勾股定理关于你的含义都会随之加深。

每个数学概念都伴随着多个隐喻，正是这些隐喻刻画了数学概念关于人们的含义。

没有任何概念能够独立存在，由于独立会使其消亡。

含义是人类最天性的一种渴求。

对含义的不断寻求，能够协助人们培育某些恰当重要的优秀品质。

首要，它能够培育咱们构建故事的才干。几千年来，人们一向都在以故事为载体来记叙前史、传承真理。故事能够将互相毫不相干的事情串联起来，在听众和故事之间，以及听众和听众之间树立起一种奇妙的联络。数学也相同，想要寻求数学的含义，将各种数学概念串联起来是一个不可或缺的进程，能做到这一点的人会自然而然地变成故事的构建者、传播者。

抛开目标之间的联络，孤登时看待某个目标自身，其实没有什么含义。而函数就意味着某种联络。函数能够被视为一个“故事”。

构建故事的办法多种多样，咱们无妨仍以勾股定理为例。依据勾股定理，直角三角形三条边的边长a、b、c满意以下联络：

其间c是斜边（最长的那条边）的边长。

咱们能够构建一个叙述几许联络的故事：使用直角三角形的三条边画出三个正方形，你会发现勾股定理实践上意味着：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。

咱们也能够构建一个故事来阐释这条定理的重要含义：“勾股定理是整个三角学的根底，也是几许学中尤为要害的一个定理。”

咱们还能够构建一个以史实为根底的故事，把勾股定理放到前史背景傍边：“毕达哥拉斯学派对该定理的证明，比欧几里得对该定理的证明早了好几个世纪。”

数学探求者们更喜爱解说性的故事。换句话说，他们更喜爱定理的证明进程。

下图完美诠释了什么叫作“无字证明”——奇妙地把正方形切割成几个不同区域，就能阐明勾股定理的正确性。仔细观察下图中两两对应的区域咱们就会发现，大正方形的面积刚好等于两个小正方形的面积之和。（这种切割办法适用于恣意一个直角三角形，详细原理值得你认真考虑一番。）

勾股定理还能够构建一个物理故事。

假如把一个速度的矢量办法分解成水平方向和笔直方向的两个重量，你就会得到一个矢量办法的直角三角形。另一方面，矢量线段的长短代表速度的巨细，而动能刚好与速度巨细的平方成正比。依据勾股定理，将物体沿斜线推出所需求的能量，等于将物体沿水平方向推出所需求的能量与将物体沿竖直方向推出所需求的能量之和。

你还能够经过游戏、探求式学习、制造什物模型等办法来构建一个互动性的故事。比方你能够亲身体会一下木匠用木棍发明直角的小技巧：考虑到32+42=52，你能够先把两根木棍的端点拼在一同，随意摆出一个视点，然后以这两个彼此堆叠的端点为原点，在某根木棍3个单位长度的当地做一个符号，在另一根木棍4个单位长度的当地做另一个符号，然后耐性调整视点，使得两个符号之间的间隔刚好为5个单位长度。然后你就会发现，此刻的视点刚好便是一个直角。

构建故事是回忆新常识的重要手法。假如能把各种常识合理地融入故事中，记住它们就不再是一件令人头疼的事了。

对含义的不断寻求，还能够训练咱们的笼统思维才干。

人们总觉得笼统思维脱离实践，其实恰恰相反，笼统思维能够让事物的实践含义变得更丰厚。当你发现两个事物具有类似的结构头绪或行为办法时，这种类似就树立了一种联络，你就发现了一种史无前例的实践含义。

庞加莱有句名言：“所谓数学，实质上便是给不同事物起同一个姓名。”

假如你这辈子只见过一条狗，并且它刚好是一条德国牧羊犬，那么你或许会觉得，“狗”这个概念等同于德国牧羊犬。只需不断见到更多的狗，你才会了解，“狗”的含义可不只仅是你之前以为的那样狭隘。之所以说笼统思维能够丰厚实践含义，是由于笼统思维能够帮你树立样本库，提炼出事物的实质，比方知道狗。如此一来，你就能看到不同事物之间的共通之处。

数学学习进程中的中心内容便是不断寻找各种含义

学习代数有许多优点，其间恰当要害的一点便是它能协助咱们看到问题较为笼统的一面。

它能将咱们刻画成思维灵敏的人，协助咱们认清事物之间的规矩和联络，依据细致的推理找到处理某一类问题的“万能钥匙”。使用代数，咱们给出了核算复利、卡路里的耗费、掷硬币的概率的通用公式，这些公式不只能处理眼前的问题，也能处理景象不同但类型相同的其他问题。

电影《美丽心灵》（2001）剧照。

从狭义的视点来看，二次方程求根公式只能用来求解二次方程，但假如把视界放宽，咱们就会发现其实许多问题终究都能简化为对二次方程求解。笼统思维能够让咱们的考虑办法更灵敏，不管对何种工作来说这都是一项必不可少的技术。已然现在咱们能够针对多种不同状况总结出一个通用公式，那么将来咱们就能够把这种才干使用到更广的规模中，比方写出一段能够轻松处理恣意巨细的输入值的核算机程序，或许制作一座能够包容各行各业人士的摩天大楼。

笼统思维才干带给咱们的巨大收益不只体现在工作生涯中，还体现在日子的各个方面。剖析问题时，咱们不是常常需求剥离无关细节、直指问题中心吗？看待问题时，咱们不是常常需求站在不同视点、全面认知事物吗？学好数学，不是会让咱们在这些方面愈加称心如意吗？答案不言自明。

对含义的不懈寻求能够顺带培育咱们坚定不移、冷静考虑的品质。只需不断考虑，才干辨明某个思维的真实含义。

数学学习进程中的中心内容便是不断寻找各种含义。

所谓数学，便是研讨各种规矩的科学，一同也是一种不断探寻各种规矩的含义地点的艺术办法。

本文选自《数学的力气：让咱们成为更好的人》，较原文有删省修正。小标题为编者所加，非原文一切。已获得出书社授权刊发。

原文作者/ [美]弗朗西斯·苏

摘编/安也

修改/宫子

校正/柳宝庆

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